Jean-Baptiste Hardy : architecte

PROJET FRACTAL

Mémoire d’étude

Date: 2014

Localisation: Cosmos

Surface traitée: ∞ m2

Statut: Etude

TÉLÉCHARGER LE PDF

Analyse d’un modèle de représentations en n dimensions de l’ensemble de Mandelbrot, exploration de formes fractales particulières en architecture.

 

Avant-propos

Ce mémoire a pour objectif de montrer qu’il existe des outils paramétriques de conception qui permettraient de créer, de développer une pensée architecturale prenant en compte l’équilibre et l’harmonie dans les relations entre les échelles de perception d’un projet dans la ville. Il doit sensibiliser à l’omniprésence des fractales dans notre environnement ainsi qu’en architecture depuis des millénaires. Le lecteur devra comprendre que les fractales ne sont pas une solution pour l’architecture contemporaine mais un outil.

” Permettant de réaliser une tâche ou un ensemble de tâches un outil rend possible (mais non nécessaire) une action. Alors que le possible ouvre à d’autres possibles (à la création), la cause quant à elle, entraîne un effet ou un ensemble d’effet, et un seul. Ceci étant, en l’absence d’un outil il peut être impossible de réaliser une certaine action. Le véritable procédé créatif consiste à détourner 1’usage conventionnel d’un outil, on lui donne alors un autre sens, notamment en lui attribuant une autre fonction. C’est exactement ainsi que se produit 1’invention en architecture, donnant naissance à un nouveau concept.” ¹

L’outil fractal a l’intérêt d’être accessible à tous et intellectuellement propice à la découverte, à la fascination dans tous les domaines, artistiques, mathématiques, médicales. C’est aussi une sorte de langage universel entre tous ces domaines. Nous commençons seulement aujourd’hui à comprendre comment la matière animée et inanimée s’organise de manière complexe pour former une totalité cohérente. Les résultats de la physique quantique, de la théorie de la complexité, de l’analyse des systèmes, de l’intelligence artificielle, et de la géométrie fractale convergent pour nous donner une vision beaucoup plus complexe de l’univers et de la vie.

Les fractales sont un outil de développement intellectuel puissant qui va au-delà de la physique ; les théories de l’ordre et du chaos, les théories sur la dimension fractale de l’univers sont autant de sources d’inspiration et de passion. Ce mémoire s’adresse au lecteur dans le but de lui faire partager une passion, un moment d’évasion mais surtout la possibilité de voyager dans des dimensions inconnues à la frontière du perceptible.

Deux points de présentation doivent être signalés. Pour éviter qu’elles n’interrompent la continuité du texte, les figures et les illustrations sont regroupées aux fins de chapitres. Pour être facile à retrouver, elles sont dénotées par les chapitres qu’elles illustrent. Le lecteur devra prendre connaissance des notions suivantes : algorithmique, paramétrique, géométrie fractale, géométrie euclidienne, dimension fractale, échelle fractale. Un lexique ainsi qu’une annexe en fin d’ouvrage permettront au lecteur qui le souhaite de retrouver ces notions ou les définitions qu’il n’aurait pas encore. Ce mémoire se présente aussi comme un recueil, les textes en annexes, les questions sous-jacentes esquissées, illustrent autant le sujet que l’exposé suivant.

Introduction

“L’architecture ne se dessine plus, elle se programme, elle ne se montre plus, elle se calcule. La perception, comme la conception s’en trouvent alors bouleversées. Ces nouveaux outils s’enracinent dans une conception déconstructiviste, où 1’éclatement de la forme conduit à des processus génératifs caractéristiques d’une architecture algorithmique. On cherche alors à déconstruire à tous les niveaux les codes habituels de conception de l’édifice.”²

Dans ce contexte, la démarche de conception architecturale à l’aide de logiciels informatiques et particulièrement les algorithmes, produit des formes. Ces formes ne sont pas de l’architecture. L’architecture est une articulation sensée entre solidité (firmitas), utilité (commmoditas) et beauté (venustas). Il faut donc prendre garde et ne pas se satisfaire des mirages du spectaculaire.³

Aussi ce mémoire cherchera dans le paramétrage fractal, à expliquer comment le comprendre, le définir et l’utiliser comme un code architectural ainsi qu’un outil de conception. En s’appuyant sur l’ensemble de Mandelbrot et sa représentation géométrique en trois dimensions le Mandelbulb, comment produire un code architectural, comment utiliser ce code pour concevoir un projet ?

Observés, dans sa globalité et dans ses caractéristiques locales, comment peut-on à l’aide d’une représentation emblématique des fractales, à savoir la représentation en n dimensions de l’ensemble de Mandelbrot, tenter d’étendre un modèle d’écriture à des dimensions supérieures ?

Ainsi la problématique s’énoncerait :

Analyse d’un modèle de représentations en n dimensions de l’ensemble de Mandelbrot, exploration de formes fractales particulières en architecture.

1. 1 Introduction aux fractales

1. 1-1 Présentation des fractales

Cette présentation succincte des fractales n’a pas pour but de recopier une nième fois des définitions bien plus fournies, mais simplement et premièrement de montrer que les fractales sont un outil universel à la portée de chacun pour comprendre le monde qui nous entoure. Je recommande d’ailleurs vivement au lecteur curieux le livre “les objets fractals, formes hasard et dimension” de Benoit Mandelbrot.

Chacun de nous a des notions sur la signification du terme fractal, d’aucuns diront que c’est une forme géométrique aux propriétés particulières, d’autres que c’est une longueur qu’on ne peut calculer, enfin chacun sait quelque chose des fractales pour la simple raison que nous en côtoyons tous les jours autour de nous. C’est donc par l’observation de ce qui nous entoure que je vous propose d’approcher les fractales. Les nervures d’une feuille d’arbre, une rivière vue depuis le ciel, les éclairs, certains coquillages,(je vous suggère de regarder les documentaires Arte sur les fractales très riche en informations mais surtout d’images qui parlent souvent bien mieux qu’un discours ou une longue démonstration.)…Tous présentent des caractéristiques géométriques particulières et plus particulièrement des symétries d’échelle, c’est-à-dire que l’on peut regarder plus prêt et encore plus prêt on trouvera toujours des similitudes et des motifs qui se répètent. Les formes complexes des espèces vivantes sont en effet presque toujours le résultat d’équations de base, très simples, répétées à l’infini. Où le résultat de l’équation est réinjecté dans les termes et recalculé un grand nombre de fois, ce qu’on appelle l’itération (du verbe latin iterare qui signifie « cheminer » ou de iter, « le chemin ») et désigne l’action de répéter un processus. C’est le principe même des fractales.

Il faut noter qu’un objet fractal dans la nature n’est auto similaire que sur une certaine gamme d’échelles. Par contre, une fractale en mathématique l’est indéfiniment. Car en mathématiques, on s’intéresse à des systèmes dynamiques agissant sur des quantités mathématiques, et non sur des quantités physiques. Typiquement, des nombres. La règle de passage d’un nombre au suivant est une formule. Le calcul itératif, permet l’application à des équations récursives, ce qui est employé systématiquement aujourd’hui en algorithmique. Les fractales sont des figures invariantes par changement d’échelle (nous parlons aussi de “structures auto similaires”) et sont la représentation graphique de suites récurrentes contractantes (pour les “systèmes de fonctions itérées déterministes” que nous verrons plus loin) ou non divergentes (pour les fractales à temps d’échappement que nous ne verrons pas).

Les figures fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

«Les fractales naturelle», les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes. Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression fractale d’images, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

«Les objets fractals», les fractales régulières. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l’ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch). les forment des systèmes de fonctions itérées.

«Les fractales déterministes», les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;

Maintenant que l’on a une vision rapide mais globale des fractales, intéressons nous à l’architecture.

1. 1-1-1 Les fractales en architecture

Cela fait à présent une quarantaine d’années que les géographes s’intéressent à la géométrie fractale, à la suite des travaux précurseurs de Benoît Mandelbrot⁴.

Les thématiques d’application des fractales à l’architecture sont nombreuses, mais un domaine a été plus que tout autre traité par les fractalistes : il s’agit de celui de la ville. Michael Batty et Paul Longley sont sans doute les premiers auteurs qui se sont intéressés aux applications des fractales dans ce domaine: dès le milieu des années 1980, ils ont commencé à étudier la fractalité des structures urbaines dans le but de mieux simuler la croissance de ces organismes⁵. Pierre Frankhauser publia une synthèse plus générale de ce qu’il était possible d’attendre de la géométrie fractale en géographie urbaine⁶.

Avec la multiplication des systèmes d’information géographique dans les domaines de la gestion urbaine et du cadastre, au cours des années 1990, il est devenu possible de dériver des données de plans numériques et de travailler sur la fractalité des morphologies urbaines à des échelles bien plus grandes.

Dans l’architecture vernaculaire , le processus d’apparition des fractales est en même temps intuitif et involontaire. En effet, l’homme s’inspirant des proportions et des rapports harmonieux de la nature, copia tout simplement ce qu’on a appelé les fractales naturelles. Puis s’inspirant de l’architecture elle-même il créa ses propres géométries fractales à l’image des Boukhara et moucharabieh dans l’architecture islamique. On pourra citer pour exemple la salle des Abencerrages. Bien longtemps avant les pyramides, de Chéops, sont peut-être le premier signe d’architecture fractale, directement en relation avec la nature humaine et à l’image de celle-ci, et sont non sans rappeler le fameux triangle de Sierpinsky.

Un peu plus tard dans l’histoire, les Villas de Palladio, analysées par Emmanuelle P. Jeanneret dans sa thèse de doctorat7, regorgent elles aussi des fractales. De manière générale, l’architecture classique est baignée de géométrie fractale8.

Gaudi, pour dessiner La Sagrada Familia, s’inspira de la nature, les fractales (en façade elliptic/split) utilisées pour la conception lui donnent un caractère particulier. Dans un article de Francis Leguen, l’appellation «Fractalia Familia» prend tout son sens mais si la dimension fractale nous apparait visiblement aujourd’hui, comment Gaudi a-t-il utilisé ces outils avant même la « découverte » des dites fractales9.

Aujourd’hui, dans son ouvrage «Les villes et les formes», Serge Salat développe une approche à l’aide des fractales de l’analyse urbaine. Il explique dans son ouvrage comment les fractales dessinent les villes vernaculaires et comment les reconnaître, les analyser. Il a aussi dirigé une exposition d’art «Beyond the Vision à Beijing le 24 Septembre 2011». Son travail peut être découvert sur Internet10 et porte sur mise en condition dans un espace fractal11.

Le lecteur aura compris comment l’urbanisme et l’architecture sont imprégnés de fractales. Revenons maintenant au troisième type de fractale, celles qui nous intéressent plus particulièrement : les fractales déterministes.

1. 1-1-2 Les fractales déterministes

Les fractales déterministes sont basées sur des fonctions itérées qui sont strictement auto similaires. La famille de fractales nommées ainsi par Michael Barnsley en1987: les “systèmes de fonctions itérées déterministes” ou souvent appelées en anglais “deteministic iterated function systems” (IFS).De toutes les figures fractales, seules celles construites au moyen de systèmes de fonctions itérées affichent habituellement la propriété d’auto similitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d’échelle. Le plus connu est l’ensemble de Mandelbrot.

1. 1-2 Benoit Mandelbrot

Pionnier de l’utilisation de l’informatique pour la visualisation et l’expérimentation des mathématiques, Benoit Mandelbrot est le père des fractales.

“Benoît Mandelbrot était un visionnaire, et sa vision était géométrique. Bien sûr l’essentiel de cette vision géométrique est traduite par le terme qu’il a forgé de géométrie fractale. Et la géométrie fractale est un champ mathématique dont avant Benoît, on connaissait bien certaines fleurs, des arbres singuliers et des fruits savoureux, mais à l’état sauvage, ou cultivé dans des petits jardins. C’est Benoît qui a ouvert le champ en en montrant l’étendue des applications et en lui donnant un nom. La création du vocable est inséparable du concept, et Benoît avait une sorte de génie de la langue, pour faire accéder les fleurs singulières à la civilisation.”12

1. 1-2-1 L’ensemble de Mandelbrot

Nous arrivons à un moment de l’exposé où les mathématiques deviennent nécessaires, et l’écriture moins digeste. La définition suivante est succinte et mérite d’être complétée par la lecture des articles très bien rédigés sur Wikipédia à propos des ensembles de Mandelbrot, Julia et des espaces mathématiques dans lesquels évoluent ces ensembles13. Mais elle donne un premier goût de l’ensemble.

Soit la suite Zn+1 = Zn2 + c avec Z0 = 0 et c un nombre complexe quelconque.

La question que Mandelbrot s’est posé est la suivante: Suivant la valeur de c, quel comportement la suite va-t-elle avoir? Va-t-elle converger, diverger ou être cyclique? L’idée est de balayer à l’aide d’un ordinateur une région de l’espace des complexes. Pour chaque pixel de l’écran on associe une valeur de c et on calcule le comportement de la suite associée. Si un Zi possède un module supérieur à 2, c’est que la suite va diverger. On dessine alors le pixel de la couleur i. Si au bout d’un nombre d’itérations maximum n donné le module de Zn est toujours inférieur à 2, on estime que la suite ne diverge pas.14( L’ensemble est borné sur [-2;1]). L’ensemble de Mandelbrot est la frontière entre l’espace où la suite converge et l’espace où elle diverge. Il est visible par l’algorithme dit des distances (distance bound estimator algorithm) et donne une bonne idée de la nature de l’ensemble.

On remarque que l’ensemble de Mandelbrot est très complexe. On a même l’impression qu’il recouvre une surface. De fait, sa «dimension fractale» est de 2. Il regroupe en fait tout les sous-ensembles de Julia15.Si l’ensemble de Mandelbrot n’est pas auto-similaire dans le sens où les formes rencontrées trahissent la zone de l’agrandissement, on peut tout de même dire qu’il est “formé d’une multitude de copies de lui-même”. Il est la base des théories de l’ordre et du chaos. C’est le symbole d’une manière de concevoir et de percevoir le monde.

1. 1-2-2 Mandelbrot en architecture

Les exemples d’utilisation de l’ensemble de Mandelbrot, appliqué à l’étude de l’architecture et de l’urbanisme, sont illustrés par Serge Salat et Pierre Fankhauser, qui ont utilisé l’ensemble de Mandelbrot comme un code dans l’étude des villes.16

Jusqu’ici toute les études relevaient d’un travail en deux dimensions ; simplement par le fait que l’étude des villes se fait à une si grande échelle qu’on ne la perçoit qu’avec un certain recul. Aussi la représentation fractale utilisée jusqu’à quelques années n’était qu’une représentation en deux dimensions.

1. 2 Un modèle en n dimensions

1. 2-1 A la recherche du Mandelbulb

Or depuis 2009, des informaticiens passionnés (tel que Daniel White et Paul Nylander) par l’outil fractal et par l’ensemble de Mandelbrot, ont décidé de représenter l’ensemble de Mandelbrot dans un plan hypercomplexe; et ont trouvé un modèle dans un plan à 8 dimensions, le quaternion (plan à 4 dimensions) ne permettant pas de le représenter correctement. La découverte du Mandelbulb a demandé presque trente années d’investigations, elle se trouve dans les travaux de Rudy Rucker dans «In Search of a Beautiful3D Mandelbrot Set», qui explique les différentes méthodes qui ont permis d’arriver à la création et la représentation du Mandelbulb et se trouve en annexe 2.

On a ainsi obtenu une représentation en n dimensions des ensembles dérivant de Mandelbrot, le Mandelbulb. Le Mandelbulb est l’ensemble des points de l’espace ne divergeant pas après itération infinie d’une double transformation de pliage de l’espace. Il peut être défini dans tout type de dimensions, bien que la version 3D soit la plus populaire. Une nouvelle porte s’ouvre, car certes on connaissait depuis longtemps l’existence des fractales en trois dimensions et leur études, mais la possibilité de les paramétrer pour obtenir une représentation directement exploitable restait sans solution. Aujourd’hui leur travail ouvre un grand champ de possibilités tant dans l’analyse que désormais dans la création de forme architecturale.

1. 2-2 Les logiciels de créations de Mandelbulbs

Il existe de nombreux logiciels de représentation des fractales et plus particulièrement des Mandelbulbs, parmi les plus connus je citerai Ultrafactal, Apophysis, Mandelbulb3D, Mandelbulber, Mandelx. J’ai choisi d’utiliser Mandelbulb 3D, vous trouverez d’excellents tutoriels sur le site de Fractalforum17, par ailleurs je développerai ses potentiels d’utilisation dans une annexe à paraître (elle représente presque un chapitre à elle seule).

1. 2-3 Résultats et exploration des Mandelbulbs

A la manière du travail d’Emmanuelle P. Jeannneret sur Palladio, on peut considérer la Mandelbulb comme un modèle. Emmanuelle P. Jeanneret explique comment décomposer le modèle pour en extraire un plus grand commun descripteur. Celui-ci sert d’invariant, de base dont on se sert pour créer de la variance (pour les fractales 2D, il correspond à l’initiateur) grâce à la grammaire de forme ou règles ( générateur). L’intérêt des Mandelbulbs, comme on le voit par la suite avec la Mandelbox, est que cet invariant peut lui même être une fractale.

Partons à la découverte des richesses infinies des Mandelbulbs et des Mandelbox. Cette partie est basée sur le travail de Francis Leguen dans son article “Les mondes cachés de la Mandelbox18”et s’illustre de son texte et de ses images.

La Mandelbox est l’une des fameuses fractales à trois dimensions Découvert par Tom Lowe en 2010, il est défini de manière similaire au Mandelbulb. On l’appelle aussi Amazing Box. Elle est devenue la coqueluche des fractalistes de tous poils. Il faut dire que cette boîte de Pandore contient toutes sortes de mystères et de visions exceptionnelles. Une de ses propriétés remarquables est qu’on retrouve en son sein un tas d’autres fractales « classiques », comme on va le voir.

Dans le logiciel Mandelbulb3D, la Mandelbox par défaut n’a rien d’extraordinaire. Mais l’astuce consiste à explorer ses dimensions négatives, en particulier la dimension -1,5 comme représentée sur le « cube »19. A présent, zoomons sur l’un des coins. La première chose que l’on remarque est l’autosimilarité, caractéristique des fractales : le motif en cube se répète indéfiniment, à toutes les échelles20. Mais en observant d’un peu plus près, apparaît une figure connue, celle des fractales apolloniennes21.

Zoomons encore… Apparaissent alors des zones facilement reconnaissables de quelques fractales « classiques » . Sur les pourtours du cube se révèle une partie lisse qui est constituée d’une éponge de Menger. On retrouve aussi facilement le flocon de Koch, le disque de Poincaré et les pavages hyperboliques, le tapis de Sierpinsky, l’ensemble de Cantor, les fractales IFS et bien d’autres. J’ai volontairement utilisé les mêmes éclairages et couleurs de façon à pouvoir bien comparer les formes22. Mais ce ne sont pas les seuls trésors cachés dans la Mandelbox… Voici quelques visions plus « profondes », à l’intérieur de la boite mais en gardant la même dimension de -1,523.

Rien n’empêche d’explorer les autres dimensions négatives, entre -1,5 et -1,2 pour découvrir d’autres secrets. Et bien sûr de combiner cette figure de base avec les autres solides fractals disponibles dans le logiciel Mandelbulb 3D ou Mandelbulber. Mauvaise nouvelle : les possibilités sont infinies.

Aussi la géométrie de Mandelbrot semble très complète, puisqu’elle permet de générer un grand éventail de formes, et que de nombreux objets naturels et non naturels en découlent. Mais elle permet aussi et il faut s’en souvenir d’écrire des règles de grammaire financière, dans son dernier ouvrage, Benoit Mandelbrot traite de l’outil fractal appliqué à la finance. Si le même langage permet de prédire les cracks boursiers comme de produire des morphologies urbaines, comment ne pas se poser la question de l’universalité du langage, mais aussi de la cohérence d’écriture entre les différents domaines qui l’utilisent. Les variants de la société peuvent être décryptés avec le même code, le même alphabet, mais les règles déterministes et stochastiques en font deux langages qui s’entendent avec des déclinaisons différentes.

1. 2-4 Récupérer l’information et l’utiliser

Je vous donne ici un article presque entier de Francis Leguen car il est d’une clarté déconcertante et retrace la démarche à entreprendre pour extraire les mandelbulbs de leur écrin pixelisé pour en avoir un modèle exploitable en architecture.

« Ainsi donc, on peut désormais extirper les fractales de leur logiciel géniteur. C’était déjà possible avec Incendia, Xenodream, ContextFree mais on attendait avec impatience la disponibilité de cette fonction sur Mandelbulb3D. C’est chose faite avec la version 1.7.6 où l’on peut (en principe) exporter ses créations au format .obj pour les utiliser ailleurs…La procédure est loin d’être évidente et nécessite une machine (très) puissante.

Les paysages fractals que l’on génère avec Mandelbulb3D sont déjà des objets 3D puisqu’on peut naviguer à l’intérieur. En fait, c’est la projection 3D d’espaces à 4 dimensions et même plus. Projection 3D elle-même projetée en 2D sur l’écran de l’ordinateur… L’enjeu est de parvenir à récupérer l’espace 3D fractal pour en faire un « véritable » objet 3D manipulable dans d’autres logiciels. C’est possible ! L’astuce s’appelle la voxelisation. C’est finalement très simple : il suffit de découper le volume en petits cubes orthogonaux, de façon à obtenir une « julienne de fractales ». Plus les cubes sont petits, plus la définition et les détails du solide sont préservés. Idéalement chaque cube doit avoir la taille d’un pixel. Il est devenu un pixol ! Qui se définit avec des coordonnées spatiales dans 3 dimensions. Bref, c’est un objet 3D dont la résolution dépend du degré de « décimation ».

Jusqu’à présent, il existait deux méthodes, fastidieuses, pour y parvenir. La première, intégralement dans Mandelbulb3D, consiste à utiliser le module d’animation avec la caméra en vue de dessus et à la caméra en vue de dessus et à zoomer (avec les bons réglages) jusqu’à traverser le Mandelbulb de part en part. Les animations étant rendues sous forme de collection d’images (plusieurs milliers), il suffit d’entrer ces images dans un logiciel capable d’interpréter la séquence d’images pour en faire un solide 3D. Il en existe plusieurs dans le domaine scientifique et médical (c’est comme ça qu’on exploite les tomographies du cerveau, par exemple.) L’autre méthode consiste à faire un certain nombre de rendus haute définition en modifiant à chaque fois le point de vue, de façon à faire le tour de l’objet qu’on veut « voxeliser ». On introduit ensuite ces images dans un logiciel qui reconstitue l’objet 3D en tenant compte des variations d’angle de chaque image. C’est assez magique. On peut même utiliser pour ce faire un logiciel du cloud : Autodesk 123D Catch (ex Photofly). Tout cela fonctionne mais au prix d’efforts pharaoniques… D’où la jouissance mystique des fractalistes de tous poils à l’apparition de la voxelisation dans Mandelbulb3D…

Voyons à quoi ressemble cette nouvelle fonction. On y accède depuis la fenêtre principale, onglet Utilities/ VoxelStack. En cliquant sur le bouton « Import parameter from main » vous devriez voir apparaître votre fractale découpée en tranches… Il faut faire un zoom arrière, avec le bouton du bas« Overall scale » jusque dans les valeurs 0,6 sinon la fractale est tronquée. Réglez le Z slices (par défaut à100 mais je suis monté à 900…) qui détermine la finesse et la définition de l’objet final (plus les cubes seront petits plus l’objet sera lourd…). Lancez « Start rendering slices » : quelques milliers d’images vont s’empiler dans le dossier spécifié. On est contents. Et on en fait quoi de ces images, soigneusement numérotées ? On souffle un grand coup car nous allons maintenant utiliser des logiciels encore plus exotiques pour traiter ces images. D’autres usines à gaz, dans l’usine à gaz… Deux outils sont utiles pour cette tâche. Avec des fortunes diverses selon le poids de la fractale… On peut télécharger ImageVis3D à l’université d’Utah… Ou Fiji. Bref, on récupère effectivement des objets 3D qu’on peut importer dans une foultitude de logiciels 3D pro ou moins pro, comme Carrara ou même Bryce. C’est une satisfaction technique mais au final, on ne retrouve pas ce qui fait la magie des fractales 3D : leur niveau infini de détails. Et c’est là que le bât blesse : les fractales complexes aboutissent à des objets de plusieurs gigas, pratiquement inutilisables… Même les Mac’s se retrouvent à genoux… Et les détails ne sont pas aussi « détaillés » que dans Mandelbulb3D. L’idéal serait de pouvoir simplifier (et donc alléger) à l’extrême les géométries pour les « retendre » ensuite avec un hypernurbs par exemple. Peut être est-ce possible avec Meshlab…Quoiqu’il en soit, c’est trop tard : les mandelbulbs se sont échappées de la boîte et on ne reviendra pas en arrière…Quels usages pour ces nouveaux solides ? L’imagination au pouvoir ! L’exploration continue… »

Et si les mandelbulb existaient déjà…Dans un article de Janvier 2013, Francis Leguen explore la possibilité de découvertes de mandelbulbs néolithiques…24

1. 3 Exploration et utilisation en architecture

1. 3-1 Échelle fractale et anthropocentrisme architectural

Le rapport à l’échelle humaine est un thème essentiel. Nous devons pouvoir nous relier à l’architecture par une cascade fractale d’échelles successives à partir de détails à notre échelle. « Cela veut dire, écrit Pierre Riboulet, au premier degré, très simplement, que tous les éléments construits que l’on peut appréhender avec la main, avec le corps, doivent être calculés en fonction des dimensions humaines. La hauteur d’un plafond, l’appui d’une fenêtre, le pas d’un escalier, la largeur d’un couloir ou d’un trottoir, doivent être dimensionnés d’une manière telle que par l’usage qui en est fait, on sente immédiatement une adéquation entre ces espaces et notre propre corps. »

De Riboulet toujours,« Découvrir l’échelle juste est toujours une chose nécessaire dans le travail de composition. Il faut l’établir pour le fragment que l’on compose et il faut, en plus, que cette échelle soit en harmonie avec l’environnement. La réussite dans ce domaine est une condition fondamentale pour assurer la cohérence formelle et l’harmonie des ensembles urbains. On remarquera que les villes qui nous apparaissent comme très cohérentes ont une unité d’échelle très grande. »

La ville et l’architecture doivent être pensées comme une structure fractale multiple. Une vision fractale permet de libérer l’urbanisme d’une échelle définie car une fractale existe à toutes les échelles. Les processus et mécanismes urbains agissent à des échelles différentes. La notion d’événement servant à toutes les échelles et coopérant à travers les échelles différentes facilite la compréhension de la vie et de la croissance des villes. Les villes du futur vont-elles redevenir fractales (déterministes ?). Pour cela, elles doivent s’inspirer des leçons formelles des villes du passé tout en intégrant de nouvelles structures fractales adaptées aux nouvelles technologies.

A propos des longueurs et de l’exemple de la mesure d’une côte entre hier et aujourd’hui Benoit Mandelbrot a écrit “ Un certain degré de précision la mesure des longueurs des côtes est devenu intrinsèque. Mais cet “intrinsèque” est tout à fait anthropocentrique, puisque c’est la taille des plus grosses pierres que l’homme peut déplacer, ou des blocs de ciment qu’il aime couler. La situation n’était pas très différente autrefois, puisque le meilleur n pour mesurer la côte n’était pas la taille de la souris ou de la mouche, mais celle de l’homme adulte. Donc, l’anthropocentrisme intervenait déjà, quoique de façon différente : d’une façon ou d’une autre, le concept en apparence inoffensif, de longueur géographique n’est pas entièrement “objectif”, et il ne l’a jamais été. Dans sa définition, l’observateur intervient de façon inévitable”. La fractale est l’instrument et la mesure, l’outil et la mesure se confondent.

1. 3-1-1 Forme et interprétations de la dimension fractale

Ce chapitre est comme le mémoire non- exhaustif, si je ne développe pas tous les termes contraste, symétrie, équilibre, proportion, échelle, matière, caractère, ornement, texture, couleur, traitement de sol, harmonie…25, il en est certains dont je voudrais souligner la particulière conjonction avec notre sujet d’étude.

La composition fractale se retrouve dans plusieurs domaines : la ville, l’architecture, la musique. Le sentiment de connexion à l’environnement commence par les échelles les plus petites, dont la composition détermine l’impact du tout. Les détails de surfaces forment la première information perçue et celle par laquelle nous nous connectons au monde par une suite d’amplifications successives. Dans l’architecture, c’est l’ornement à toutes les échelles qui crée le rythme. L’exemple des murs de mosaïque de l’Alhambra qui combinent une planéité extrême due au support, aux entrelacs et au jeu des patterns répétitifs, le plus souvent géométriques, et un certain mouvement puisque, à les fixer, on s’aperçoit peu à peu que tout bouge, flotte, et l’on est alors pris dans ce qu’Henri Focillon appela « métamorphose ». La métamorphose participe à la magie de la perception des dimensions topologiques, les espaces changent de dimensions comme dans les installations de Serge Salat, où l’on se meut dans la quatrième dimension.

L’ornement est une constante dans l’histoire de l’homme. On trouve trace d’ornements depuis le deuxième millénaire avant notre ère, en Écosse, où des pierres sont ornées de spirales qui sont non sans rappelés certaines formes de Mandelbulbs “néolithiques”, la pierre de Towie est un tétraèdre parfait, qui représente des solides « platoniciens » près de 2000 ans si ce n’est plus avant leur « découverte » par les grecs…( regarder l’excellent article de Francis Leguen sur les mandelbulbs néolithiques, http://www.blog.francis-leguen.com/des-mandelbulbs-neolithiques/)

L’harmonie, “Un langage commun propre à la composition, se forme qui va être un puissant moyen d ‘unification des parties. Littéralement, les parties unifiées dans une composition se parlent et se répondent [ … ]. Quand un lieu urbain, quand les architectures qui le bordent, les espaces libres qui le relient, les lumières qui le traversent, ont atteint ces correspondances, quand on sent s’ instaurer un dialogue entre les différentes parties, que chacune parle et reçoit des réponses, une harmonie sacrée. C’est alors que nous sommes attirés par ce lieu, qu’il éveille notre intérêt, qu’il nous procure des émotions, qu’il requiert notre intelligence. “C’est une lumière dans la négativité du monde” , dit magnifiquement Henri Gaudin à propos d’un tel lieu.

Le caractère est une notion plus difficile à saisir. Elle traduit le fait qu’une composition, au moyen des catégories qui sont les siennes, les contrastes, l’ équilibre, l’ échelle, au moyen de sa forme,de sa matière, de ses jeux d’ombre et de lumière, doit exprimer la destination, l’usage social et symbolique de l’espace. C’est par le caractère que les formes deviennent à la fois identifiables er susceptibles d’appropriation et d’usages multiples.

Le caractère d’une forme est propre à ses caractéristiques géométriques et mathématiques, avec les fractales, on voit apparaître une autonomie des formes qui se détachent des conditions de leur production pour acquérir une valeur transhistorique. Tel est le sens ultime de la composition : non pas seulement de représenter le monde mais aussi de le comprendre et de le composer à la mesure de l’homme.

1. 3-2 Géo-métries et fractales

“Aux mains des Grecs, la “géo-métrie” donna jour à la géométrie mathématique. Cependant (comme il arrive bien souvent dans le développement des sciences!) la géométrie mathématique oublia très vite ses origines, ayant à peine gratté la surface du problème initial”26

La géométrie fractale se différencie de la géométrie euclidienne par sa définition d’une part: les figures de la géométrie euclidienne sont en général déterminées par des relations algébriques, alors que les courbes fractales sont définies de façon récursives comme nous l’avons déjà mentionné.

On ne s’est que trop éloigné des sens premiers :«Toute cette structure merveilleuse qui vient directement de la nature n’apparaît point dans l’architecture de notre siècle. Quelque chose de chose de fondamental s’est perdu, Non seulement j’espère appliquer les mathématiques à l’architecture et à l’urbanisme. Je pense même qu’il est impossible de faire du progrès sans une telle application. 27»

“A propos de l’ordre euclidien et l’ordre fractal, Perrin 1913 fait deux remarques distinctes au sujet de la géométrie de la nature. D’une part elle est mal représentée par l’ordre parfait des formes usuelles d’Euclide ou du calcul différentiel. D’autre part, elle peut faire penser à la complication des mathématiques crées vers 1900”. Aussi la géométrie et la perception du monde sont des cas particuliers de la dimension fractale.

“La géométrie fractale est caractérisée par deux choix : l choix de problèmes au sein de la nature, car décrire tout serait une ambition sans espoir et sans intérêt, et le choix d’outils au sein des mathématiques, car chercher des applications aux mathématiques, simplement parce qu’elles sont belles n’a jamais causé de déboires. Progressivement mûris, ces deux choix ont créé quelque chose de nouveau : entre le domaine du désordre incontrôlé et l’ordre excessif d’Euclide, il y a désormais une nouvelle zone d’ordre fractal.”

Si l’architecture est remplie de fractale, peut on les reconnaître, établir des règles pour comprendre comment l’homme avec sa géométrie euclidienne s’est laissé ou non envahir par la géométrie fractale?

Et si la perception de l’homme par ses sens a impliqué l’utilisation des formes euclidiennes, alors que la réalité, beaucoup plus relative implique peut-être d’autres formes de perception.

1. 3-3 Règles, grammaire et compositions fractales

Après la décomposition du modèle «universel» vient la phase contrôlée de recomposition à l’aide d’une grammaire permettant de prendre en compte les contraintes du contexte dans le code et d’articuler ainsi code et contexte pour produire du sens. Les règles classiques des fractales, par itérations, juxtaposition, intersection, engendrent des symétries, asymétries, et contribuent à marquer un style. Dans notre étude, la grammaire de recomposition trouvera comme invariant les formes géométriques invariantes des fractales à l’échelle architecturale, et les fractales elles-même comme initiateur à l’échelle urbanistique.

Dans le passage de la structure (le code) à au discours (le projet), l’architecte fera usage de règles différentes en fonction du contexte. Le projet répond alors par covariance de manière adéquate à des dimensions relevées du contexte. Appliqué à l’urbanisme, notre modèle fractal pourra suivre les règles de Nikos Salingaros28 pour la distribution des tailles des composants, ainsi que la loi de Pareto sur l’optimisation structurelle29( Il s’agit, en fait d’une distribution hyperbolique). L’application des fractales à la morphologie urbaine optimise celle-ci, c’est aussi le cas pour les usages et les fonctions dans un bâtiment comme dans la ville.30

Il existe par ailleurs un certain nombre d’opérations qui n’ont pas d’influence sur l’homothétie interne et qui permettent de généraliser le mode de construction. Ainsi des rotations, des réflexions, la translation de certains éléments, une variation stochastique du facteur de réduction sont permis dans une certaine marge.

L’enjeu pour l’architecte est de défaire la complexité (dé-composer) pour rester maître grâce aux règles ( là où l’économiste opère une réduction de complexité) pour recomposer (re-complexifier) dans un contexte donné.

1. 3-4 Réalisme du processus de génération d’architecture

L’utilisation des fractales en architecture et plus particulièrement des Mandebulbs, engendre un certain nombre de paradoxes qu’il est juste de présenter.

A propos du passage de la limite entre l’infini et le fini,31 : “Pour résumer, le physicien a raison de traiter le passage à la limite mathématique avec prudence. La dimension fractale implique un tel passage, donc est suspecte. Je ne compte plus le nombre d’occasions où un physicien ou un ingénieur me le fit remarquer. C’est peut-être à cause de cette suspicion que le rôle physique de la dimension fractale n’a pas été découvert avant mes propres travaux. Mais nous voyons que, dans le cas présent, l’application de l’infinitésimal au fini ne doit provoquer aucune crainte si elle procède avec prudence”

Le passage donc de l’infinitésimal au fini implique donc le paradoxe de la perte d’itération. C’est-à-dire que quoi qu’il arrive, le paramétrage fractal, en temps qu’outil mathématique donne des échelles infinies aux objets créés, et bien évidemment l’architecture devra comme la nature revenir à nombre d’itération cohérent avec l’environnement et les techniques actuelles. La complexité des formes sera toujours bridée par la technique, mais le résultat s’approchera néanmoins d’une certaine perfection, et gardera les propriétés générales des fractales qui nous intéressent. A certaines échelles, la fractalisation cesse, l’itération n’opère plus. Si l’on définit différentes échelles qui correspondent à des itérations, l’itération peut être interrompue de manière sélective par l’architecte et la dimension déterministe devient obsolète car chaque itération pourra avoir des règles propres.

Ensuite, tous les algorithmes qui génèrent des fractales ne sont pas déterministes, on se place donc dans un domaine spécifique qui ne prend pas toujours en compte les notions de pondération et de hasard , de décomposition et de tirage à chaque nouvelle itération.

Enfin, la place du concepteur ainsi que les variants sociétales ne permettront jamais de trouver une formule unique qui résoudra toutes les questions d’architecture.

Conclusion

“L’intelligence computationnelle ne doit pas se contenter de rédiger des programmes qui se substituent à 1’intelligence humaine pour fournir des automates ce qui aurait pour conséquence de tuer 1’âme même de l’architecture. Elle doit permettre à un agent humain d’accroître les trois grands domaines de sa pensée, c’est-à-dire sa faculté de produire des raisonnements, sa faculté d’imaginer et sa faculté de se souvenir.

C’est pourquoi il est nécessaire de développer et de tester des prototypes constituant chacun une palette d’outils propres à une architecture, adéquats à des savoirs et des processus de conception architecturaux, et de les doter d’instruments de dessin enrichis de concepts (et de leur sémantique multiple), de les articuler à une structure (base de données numérique) permettant à un concepteur de produire son propre raisonnement, en se frayant un chemin dans un réseau sémantique riche d’une histoire commune. De tels prototypes montrent comment l’informatique peut véritablement susciter et amplifier l’invention, étant entendue comme la capacité à imaginer de nouveaux raisonnements à partir d’une mémoire du passé.

L’invention de nouveaux concepts viendra ainsi à son tour alimenter la conception de nouveaux outils, capables de prendre en charge de nouveaux raisonnements, afin de répondre aux attentes d’un monde en perpétuelle quête de sens. Ils ‘agira ainsi, notamment, dans le futur de développer encore des travaux sur la relation entre la topologie et la géométrie, avec à leur interface des ontologies décrivant le savoir architectural. Il s’agira non seulement de produire des outils constitués de concepts, mais aussi des raisonnements s’inscrivant dans des savoir-faire. “32

Aussi j’ai cherché à montrer qu’il est possible d’étendre la conception de l’architecture fractale en n dimensions, et de tenter d’appréhender un nouvel outil : les fractales déterministes que sont les Mandelbulb, Mandelbox et toute autres formes issues de l’extension de l’ensemble de Mandelbrot et Julia. Il est envisageable de créer une architecture basée sur les fractales déterministes, en suivant les règles et les mises en garde développées au cours de l’exposé. L’histoire a sans cesse utilisé les fractales naturelles et les objets fractals issus des systèmes de fonctions itérées. Il serait désormais possible grâce aux nouvelles technologies d’utiliser le paramétrage fractal déterministe en n dimensions pour l’architecture.

Enfin c’est à la limite de la géométrie euclidienne classique et des raisonnements contemporains sur la perception du monde que se trouvent les concepts énoncés dans ce projet. Emmanuelle P. Jeanneret a écrit un article il y a quelques années sur la sémiotique du cosmos à l’oikos33. Il montre le parallèle existant entre la conception de l’espace du cosmos aux grandes périodes de l’architecture et la conception architecturale. «Une possible utilisation de la géométrie de Mandelbrot, dans sa version plus sophistiqués en 3D pour produire de l’architecture, me semble très intéressante en ce qu’elle pourrait offrir une nouvelle manière d’intégrer les connaissances les plus récentes concernant l’univers à la conception d’objets qui sont les supports de nos existences. La géométrie fractale permet une compréhension du monde en n dimensions; cette géométrie pourrait être envisagée comme l’armature d’un écosystème géant, abritant des sous-systèmes, dont certains pourraient être nos villes et nos maisons»34. Je conseille vivement de lire «La magie du cosmos» de Brian Green qui raconte toute l’histoire de la cosmologie jusqu’aux théories modernes qui sont non-sans rappeler le caractère relatif de l’espace-temps et de la dimension fractale probable de l’univers.

Ces nouveaux modes de perception du monde rappellent l’univers infini des fractales et la perspective d’une vision englobante défendue par Mandelbrot dans une époque où tout tend à être divisé, sectionné et rangé dans des cases. La perception de notre monde n’est probablement qu’un infime auquel l’homme à accès. Je défends donc à mon tour un processus de perception qui cherche à tous les niveaux, de l’infiniment petit, au plus grand à poser la question de la cohérence de la matière à des échelles de perceptions qui nous dépassent le plus souvent et dont on parvient à peine à comprendre les règles profondes.

Lexique

Fractal : adj. Sens intuitif. Se dit d’une figure géométrique ou d’un objet naturel qui combine les caractéristiques que voici. A) Ses parties ont la même forme ou structure que le tout, à ceci près qu’elles sont à une échelle différente et peuvent être légèrement déformées. B) Sa forme est, soit extrêmement irrégulière, soit extrêmement interrompue ou fragmentée, quelle que soit l’échelle d’examen. C) Il contient des “éléments distinctifs” dont les échelles sont très variées et couvrent une large gamme.

Remarque. Le masculin pluriel est fractals, calqué sur navals de préférence à fractaux.

Exposé des besoins. Les mathématiciens s’étaient occupés depuis cent ans de quelques uns des ensembles en question, mais ils n’avaient construit autour d’eux aucune théorie. Ils n’avaient donc pas ressenti le besoin de d’un terme pour les désigner.

Fractale : nom féminin. Ensemble mathématique ou objet physique fractal.

Dimension fractale: nom féminin. Sens générique. Nombre qui quantifie le degré d’irrégularité et de fragmentation d’un ensemble géométrique ou d’un objet naturel, et qui se réduit, dans le cas des objets de la géométrie usuelle d’Euclide, à leur dimension usuelles. Sens spécifique. “Dimension fractale” a souvent été appliqué à la dimension de Hausdorff et Besicovitch, mais cet usage est désormais très fortement déconseillé.

“Plus spécifiquement, une fois défini un quelconque concept fractal de dimension, donnant la valeur D, on peut tenter de définir un ensemble fractal comme étant, soit un ensemble pour lequel D est un réel non entier, soit un ensemble pour lequel D est un entier, mais le tout est “irrégulier”. Par exemple on appellerait fractal un ensemble qui donne D=1, mais qui n’est pas une courbe continue rectifiable. Ce serait fâcheux, car la théorie de la rectifiabilité est trop confuse pour qu’on veuille en dépendre. De plus il est souvent possible, en perturbant un ensemble très classique au voisinage d’un seul point, de faire que sa dimension devienne une fraction. Du point de vue concret, de tels exemples seraient insupportables.”

Ensemble fractal : nom masculin. Remplace fractal lorsqu’il faut préciser qu’il s’agit d’un ensemble mathématique.

Fractaliste : Amateur de fractales, par exemple chercheur ou utilisateur régulier.

Objet fractal : nom masculin . Remplace fractale lorsqu’il faut préciser qu’il s’agit d’un objet naturel. Objet naturel qu’il est raisonnable et utile de représenter mathématiquement par une fractale.

Les ensembles de Julia : sont les ensembles des points du plan complexe. Étant donnés deux nombres complexes, c et Z0, définissons la suite (Zn) par la relation récurrente : Zn+1 = Zn2+ c. Il existe un ensemble différent pour chaque valeur de C et donc une infinité d’ensembles de Julia. Ils sont essentiellement caractérisés par le fait qu’une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite, ce qui sera connu plus tard comme « l’effet papillon » découvert par le météorologiste Lorentz. Donc, en prenant Z0 = 0 et en faisant varier la valeur de C (partie réelle et imaginaire), on obtient des formes différentes. Ainsi, un processus très simple peu donner lieu, après un grand nombre d’itérations, à une forme très complexe ressemblant souvent à des espèces rencontrées dans la nature.

Un quaternion : est un type de nombre hypercomplexe . L’ensemble des quaternions, constitue une extension de l’ensemble des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit de l’ensemble des nombres réels à celui des nombres complexes .Les quaternions furent mis en forme au XIXesiècle, par Hamilton qui cherchait à construire un ensemble de nombres ayant, dans l’espace, des propriétés analogues à celles que possèdent les nombres complexes dans le plan . Il les présente comme des quadruplets de réels. L’ensemble des quaternions peut être muni d’une addition et d’une multiplication qui font de lui un des premiers exemples de corps gauche . La relation qui existe entre les quaternions et les rotations en dimension 3 fait de l’ensemble des quaternions un outil utile pour le traitement de l’espace comme en infographie ou en théorie de la commande .

Déterminisme: nom masculin. 1(Informatique) Qualité des systèmes, des processus dont l’issue ne dépend que des conditions initiales. 2(Philosophie) Système d’après lequel les phénomènes de la nature sont fatalement produits par un enchaînement nécessaire d’antécédents et de conséquents, de causes et d’effets. 3(Philosophie) Système qui nie l’influence de la libre volonté sur les actes humains.

Annexe 1

Une loi universelle de distribution par Nikos Salingaros35

Nikos Salingaros a démontré une règle universelle pour la distribution des tailles des éléments urbains et pour leur multiplicité. Dans son analyse, l’échelle consiste en l’ensemble des éléments ayant approximativement la même taille. Par exemple, les feuilles d’un arbre appartiennent à la même échelle, comme les portes dans un bâtiment.

Les échelles doivent être reliées de la plus petite à la plus grande. L’analyse présuppose l’existence de niveaux d’échelle distincts et cohérents. S’il y a trop de niveaux d’échelle, l’environnement devient chaotique. Quel doit être le facteur d’échelle, le facteur d’agrandissement entre les échelles successives ? Selon Nikos Salingaros, ce facteur doit être situé entre 2 et 5. Un facteur inférieur à 2 échoue à créer des échelles suffisamment distinctes. Un facteur supérieur à 5 empêche de lier les échelles entre elles.

Si les échelles sont séparées par des facteurs de taille trop grands, une totalité cohérente ne peut pas être formée par le passage progressif d’une échelle à l’autre. Les habitants ne se sentent plus alors connectés à leur environnement. Afin de parvenir à la cohérence de l’ensemble, il faut lier les éléments de la même échelle entre eux et lier les échelles entre elles.

Comment s’exprime mathématiquement ce phénomène ? Très simplement par une loi de puissance inverse. D’une manière concrète, combien de composants de la ville doivent-ils mesurer la taille x ? Par exemple, combien doit-il y avoir de rues de largeur x ? Si la ville est une fractale, la réponse est simple. “Il y a p unités de taille x, où p est inversement proportionnel à x”. Cela signifie que plus les composants sont petits, plus ils doivent être nombreux. La distribution des éléments et des connexions dans un organisme vivant (y compris une ville vivante) suit ainsi, selon Nikos Salingaros, une loi de puissance inverse caractéristique des structures présentant une invariance d’échelle. Il doit y avoir peu de composants de grande taille, quelques composants de taille intermédiaire, et un très grand nombre de petite taille. Une mosquée est un exemple de cette loi de d’échelle inversée : les composants de grande taille pleins ou vides sont en nombre réduit (cour, iwans, minaret) ; les composants de taille moyenne ponctuent l’espace et le polarisent (fontaines) ; le riche réseau d’entrelacs décoratifs qui fait vibrer les surfaces, les muqarnas, les perforations des moucharabiehs créent une quantité presque infinie de très petits éléments.

La loi de distribution implique de séparer les échelles en les rendant identifiables. Cela implique une structuration améliorée des régions urbanisées à grande échelle à l’aide de frontières perméables mais identifiables, lisibles au sens de Kevin Lynch. Cette structuration est à l’opposée de la sururbia amorphe contemporaine. Elle rejoint les plans de fondation les plus anciens.

Nikos Salingaros souligne que la hiérarchie doit se poursuivre vers les échelles plus petites (les bâtiments, les espaces publics, les jardins).

Cette approche conceptuelle unifie la planification urbaine, l’urbanisme, le design des espaces urbains et l’architecture comme les échelles différentes d’une discipline unique. L’aspect le plus révolutionnaire de cette théorie est qu’elle révèle que la distribution des structures construites est fondée sur les échelles les plus petites en démontrant l’erreur du biais moderniste en faveur des échelles les plus grandes.

L’entropie structurelle, l’information et la hiérarchie d’échelle36

La loi de puissance pour la distribution des tailles et des fréquences a un caractère fondamental car elle est reliée à l’entropie du système urbain et à la théorie de l’information. La loi de puissance permet d’optimiser l’impact, ou le poids relatif de chaque échelle structurelle. Pour quantifier la contribution des échelles, Nikos Salingaros utilise le concept physique d’entropie S. La question posée est celle du choix des valeurs appropriées de l’ensemble des multiplicités p des différentes échelles.

Selon Nikos Salingaros, la loi de puissance inverse implique que les plus petites échelles soient étroitement reliées aux plus grandes et que les unes ne peuvent pas être changées sans profondément altérer les autres. En d’autres termes, les changements à une échelle quelconque se propagent de manière entropique en affectant la perception globale de la structure sur le spectateur.

L’entropie se transfère alors en étant distribuée proportionnellement sur toutes les échelles d’une stucture fractale complexe. L’entropie structurelle est additive. L’impact total est la somme des impacts à chaque échelle. Plus une ville ou un bâtiment possède de niveaux d’échelle, plus il crée de l’entropie (c’est-à-dire de l’information). Subdiviser une forme génère de l’entropie structurelle, donc de l’information. Dans un système complexe, organisé et équilibré, les différentes échelles doivent avoir la même entropie de manière à ce que la perception soit invariante par changement d’échelle.

« Le potentiel de connectivité d’un tissu urbain est crucial pour son caractère vivant. Une ville physiquement très connectée favorise le mouvement et l’interaction des hommes. L’exemple du centre romain de Turin montre que les îlots complexes résultants de l’évolution sur 2000 ans de la trame romaine ont à la fois la meilleure résilience (ils ont traversés le Moyen-âge, l’Age baroque, la période industrielle), le meilleur potentiel humain (avec 56 km de façades extérieures et intérieures sur une surface de moins de 56 ha) et la meilleure connectivité. »37

Annexe 2

In Search of a Beautiful3D Mandelbrot Set by Rudy Rucker

Background

The Mandelbrot set M is defined in terms of a plane map mandelmap[z,c] which takes z into z*z + c. We add plane points by adding their cartesian components. This is easy. Multiplying plane points (in particular computing z times z) is done by pretending the plane points represent complex numbers. A problem in defining a 3D Mandelbrot set is that there is no good 3D analogue of complex numbers, and therefore there’s no obvious best way to “square” a 3D point (x, y, z).

Various other ideas have been tried for finding the platonic 3D bulb, such as using quaternions. The quaterion approach gives taffy-like structures lacking the warty smooth quality we seek. Daniel White discusses the quest and some of the approaches in his web page. What do we want? A “Mandelbulb,” a root like object that’ s like a big sphere with a dimple in the bottom and with bulbs on it, and further warts on the bulbs.

The Cubic Connectedness Map

I’ll mention here as an aside a completely different approach to looking for a 3D Mandelbrot set. The idea is to take a 3D cross section of a 4D fractal called the Cubic Connectedness Map, which was first investigated by Adrian Douady, John Hubbard and John Milnor.

In a nutshell, if k is a complex number, we define Mk to be the set of complex numbers c such that both k and -k, when plugged in for z, lead to a finitely large sequence of iterates in the map z = z^3 – 3*k*z + c. The set of all Mk in k-c space forms the four-dimensional Cubic Connectedness map or CCM. By incrementing up and down through the k parameters, I had gotten the impression that by “stacking” some of these 2D slices while varying a single real-number parameter, such as the real part of k, we could get a nice 3D Mandelbulb, and I still can’t quite believe this isn’t true. But Paul Nylander recently rendered a run that looks discouraging.

I still have some slight hope that Paul’s rendering algorithm might be in some way not quite what we want, or that, perhaps we need to do something other than simple stacking of 2D cross-sections in order to find the Mandelbulb within the CCM.

A Spherical Coordinates Algorithm

A different way of thinking of complex number multiplication is to express (x,y) in polar coordinates (norm,theta). In these coordinates, multiplying two complex numbers means adding their norm-values and adding their thetas. This is readily generalized to traditional 3D spherical coordinates. A point can be represented by a triple (norm,theta,phi), where phi is the azimuth elevation above the xy plane, and theta is the polar theta of the point’s projection onto the xy plane. And then multiplying two of these numbers means multiplying their norm-values, adding their thetas, and adding their phis.

So squaring a complex number in the plane passes from (r, theta) to (r*r, 2 theta). And in spherical 3D coordinates, (r, theta, phi) becomes (r*r, 2 theta, 2 phi). One encouraging thing about this approach is that we can be sure that the set we get will have a famililar Mandelbrot set as its intersections with both the xy plane and the xz plane, for in the xy plane, phi is identically zero; and in the zy plane, theta is identically zero.

White’s Algorithm

In 2007, a similar approach was used by Daniel White, who posted about his search for a nice 3D Mandelbort shape on his website. White uses the world “Mandelbulb”, although he’s not sure who first used the word. White’s method of “squaring” a point (x, y, z) is shown below. Note that it’s in C language, where atan2 (y, x) is the arc tangent of y/x, expressed in radians, and trying to evaluate atan2 (0.0, 0.0) crashes the program. White’s method of squaring seems much like mine, I think he’s adding those multiples of pi because he measures phi from the z axis rather than from the xy-plane as I was doing.

double pi = 3.14159265;

double r = sqrt (x*x + y*y + z*z );

double phi = atan2 (sqrt (x*x + y*y) , z ) ;

double theta = atan2 (y , x);

newx = (r*r) * sin ( phi*2 + 0.5*pi ) * cos (theta*2 + pi); newy = (r*r) * sin ( phi*2 + 0.5*pi ) * sin (theta*2 + pi); newz = (r*r) * cos ( phi*2 + 0.5*pi)

Paul Nylander blogged about “hypercomplex fractals”

A guy who call himself Karl131058 pointed out on fractalforum that we can simplify White’s algorithm as follows, with an initial condition to avoid dividing by zero in the main three formulae at the end (without this condition all the points run away and you get an empty set). The point is that you don’t really need to look at the arctan of an angle if you’re planning to take the sine or cosine of it, and even if you’re doubling the angle, you can use the angle doubling formulae cos(2a)=cos^2 a – sin^ a and sin(2a)=2cos a sin a.

Higher-Degree White’s Algorithm

Reasoning by analogy, Daniel White proposed that we look at higher-degree versions of the argument-azimuth approach. He uses this formula for raising a vector to the power n:

He converts (x, y, z) into (r, theta, phi) as before r=sqrt(x²+y²+z²)

theta=atan(y/x)

phi=atan(z/sqrt(x²+y²))

And then he computes (x, y, z) to the n_th power as newx = r^n * cos(n*theta)cos(n*phi)

newy = r^n * sin(n*theta)cos(n*phi)

newz = r^n * -sin(n*phi))

I’m not sure what he does to avoid problems along the z-axis, where x and y are both zero, I suppose he just sets phi equal to the sign of z times pi over 2 there. More information about this approach can be found on the Fractal Forums discussion page.

Why Doesn’t the Argument-Azimuth 3d Mandelbrot Fully Work?

Although we get some good images One problem might be that there’ s some asymmetry in how we get the two angles theta and phi in the spherical coordinates, in that theta is an argument angle the xy plane and the other is an azimuth elevation above it. So maybe it’ s not surprising that simply doubling those angles doesn’t produce a smooth bulbous 3D Mandelbulb. It would be nice if the angles were more similar in origin. Another problem could be that, when we double two angles we’re in some sense moving the point too violently. Perhaps you should be multiplying the angles not by two, but by some weighting factors mul1 and mul2 which might depend on whether, say the point is closer to the xy plane or to the xz plane.

A Two – Azimuth Version

One idea is to define both angles as azimuths like phi. An alternate idea, which I look at in the next subsection, is to define both angles as arguments like theta. For the two – azimuth version, we let phi can be the elevation above the xy plane as before, and now we sup- pose that eta is the azimuth above, say, xz plane. If the point lies in the xy plane, note that theta and eta are the same, for in the xy plane, the xznorm is the same as x. But if the point is off the xy plane then they’ re different. In converting from (r, eta, phi) to (x, y, z), note that xznorm = r cos (eta); xynorm = r cos (phi); xznorm*xznorm + y*y = r*r; and xynorm*xynorm + z*z = r*r

So I build a 3 D Mandelbrot algorithm as before, again not worrying initially about making the rules fast. To distinguish this from my initial “sc” approach in this notebook, I write “taz” in front of the function names, such as tazsquare, tazmandelmap and tazmandel.

This doesn’t seem to work as I continue tweaking the code below, I seem to get blank graphical boxes which suggests that maybe all the points run away to infinity under this iteration and we don’t get any set. Probably I need to be checking for division by zero somewhere. It would be a good idea to convert this into x, y, z form and get rid of the angles and then see what I really have.

A Two – Argument Version

So now let’s try something that’s perhaps more natural than using two azimuths. What if we use two argument- style angles.

Maybe we’ll use the same angle theta that measures the angle between the xy projection and the x axis in the xy plane. And we’ll use a new angle that we’ll call the nuphi, which measures the angle between the xz projection and the x axis in the xz lane. And then we view a 3D point as a triple (r, theta, nuphi), and we’ll square it by passing to (r*r, 2 theta, 2 nuphi). As with the spherical coordinates approach, we can again be sure that the set we get will have a familiar Mandelbrot set as its intersections with both the xy plane and the xz plane.

In principle, this coordinate system should work, as specifying the theta puts the point on a certain plane perpendicular to the xy axis, and specifying the nuphi puts the point in a plane perpendicular to the xz axis, so we have a line as the intersection of these two planes, and the r coordinate picks the point.

Bibliographie

FRANKHAUSER, Pierre (1994) La fractalité des structures urbaines. Paris, Anthropos et Economica.

FRANKHAUSER, Pierre (1991) Aspects fractals des structures urbaines. L’Espace Géographique, n° 1, pp. 45-70.

FRANKHAUSER, Pierre et GENRE-GRANDPIERRE, Cyril (1998) La géométrie fractale, un nouvel outil pour évaluer le rôle de la morphologie des réseaux de transport public dans l’organisation spatiale des agglomérations. Les cahiers scientifiques du transport, n° 33, pp. 41-78.

FRANKHAUSER, Pierre (2003) Morphologie des villes émergentes en Europe à travers les analyses fractales. Besançon, Théma-Puca, Ministère de l’Equipement.

LONGLEY, Paul (2000) Fractal analysis of digital spatial data. Dans Stan Openshaw et Robert.

MANDELBROT, Benoît (1977) The fractal geometry of nature. San Francisco, Freeman.

MANDELBROT, Benoît (2004) Interview, Le Monde 2, 16-17 mai 2004, pp. 60-64.

PELLEGRINO-JEANNERET, Emmanuelle, (2010) Une sémiotique du cosmos à l’oikos ou une architecture du savoir, ELSA Vol II-1-2.

PELLEGRINO-JEANNERET, Emmanuelle, (2011) Introduction ELSA volume III.

SALAT, Serge (2006) Cities and Forms – On Sustainable Urbanism.

TERZIDIS, Kostas (2011) Designing inside the Chinese room, ELSA Vol II-1-2.

Sites consacrés à Mandelbrot :

(http://mandelbrotset.net/tutorial1.html)

(http://pascale.et.vincent.bourges.pagesperso-orange.fr/fractales%20et%20chaos1/index.htm)

Blogs d’informations :

(http://www.blog.francis-leguen.com/des-mandelbulbs-neolithiques/)

(http://urbanmorphologylab.com/)

SALAT, Serge (September 24, 2011) Beyond the Vision artwork exhibition in Beijing,

(http://www.anti-utopias.com/serge-salat-beyond-the-vision/)